جواب صفحه ۱۱ ریاضیات تکمیلی نهم ✍️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۱۱ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «نمایش مجموعه با نمادهای ریاضی» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۱۲ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۱۱ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۱۱ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۱۱ ریاضی تکمیلی نهم

۶. در هر دایره عدد صحیح مناسب قرار دهید.
✅ جواب:

الف)
$\{۳x-۱\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq -۲\} = \{-۷،-۴،-۱،۲،۵،\ldots\}$

ب)
$\{۲x-۱۳\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq ۴\} = \{-۵،-۳،-۱،۱،۳،۵،\ldots\}$

ج)
$\{۳x+۲\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq ۲\} = \{۸،۱۱،۱۴،۱۷،۲۰،۲۳،\ldots\}$

د)
$\{۴x+۳\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq ۱\} = \{۷،۱۱،۱۵،۱۹،۲۳،\ldots\}$

۷. اگر $A=\{-۲۲،-۱۷،-۱۲،-۷،\ldots\}$، کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست است؟
✅ جواب: الف) نادرست است، اعضای این مجموعه یکی‌یکی افزایش می‌یابند، نه پنج‌تاپنج‌تا.

$\{x+۵\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq -۲۷\} = \{-۲۲،-۲۱،-۲۰،-۱۹،\ldots\} \neq A$

ب) نادرست است، اولین عضو این مجموعه منفی بیست‌وهشت است و با اولین عضو مجموعهٔ داده‌شده تفاوت دارد.

$\{۵x-۳\mid x\in\mathbb{Z},\ x\geq -۵\} = \{-۲۸،-۲۳،-۱۸،-۱۳،\ldots\} \neq A$

۸. مجموعه‌های برابر را مشخص کنید.
✅ جواب: مجموعه‌های «الف با د»، «ب با و» و «ج با هـ» برابرند.
الف) $\{۴x+۲\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۶،-۲،۲،۶،۱۰،\ldots\}$
ب) $\{۲x\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۴،-۲،۰،۲،۴،\ldots\}$
ج) $\{۴x+۱۲\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۸،-۴،۰،۴،۸،\ldots\}$
د) $\{۴x+۶\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۶،-۲،۲،۶،۱۰،\ldots\}$
هـ) $\{۴x\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۸،-۴،۰،۴،۸،\ldots\}$
و) $\{۲x+۱۲۳۴۵۶۷۸\mid x\in\mathbb{Z}\} = \{\ldots،-۴،-۲،۰،۲،۴،\ldots\}$

۹. اعضای مجموعهٔ $\{x\mid x^{۲}\in\mathbb{Z},\ -۵<x<۵\}$ را مشخص کنید.
✅ جواب: مربع عدد باید عددی صحیح، نامنفی و کوچک‌تر از بیست‌وپنج باشد؛ بنابراین ریشهٔ دومِ مثبت و منفیِ عددهای یک تا بیست‌وچهار، همراه با صفر، اعضای مجموعه‌اند.

$\{x\mid x^{۲}\in\mathbb{Z},\ -۵<x<۵\} = \{۰،\pm۱،\pm\sqrt{۲}،\pm\sqrt{۳}،\ldots،\pm\sqrt{۲۴}\}$

۱۰. اگر $M=\{x\mid x\in\mathbb{R},\ x<۱۰\}$ و $A=\{\sqrt{a}\mid a\in M\}$، آنگاه $A$ چند عضو صحیح دارد؟
✅ جواب: برای ریشهٔ دومِ حقیقی، عدد زیر رادیکال باید نامنفی باشد؛ بنابراین:

$A=\{x\in\mathbb{R}\mid ۰\leq x<\sqrt{۱۰}\} \quad\Longrightarrow\quad A\cap\mathbb{Z}=\{۰،۱،۲،۳\}$

پس این مجموعه ۴ عضو صحیح دارد.

۱۱. اگر $A$ مجموعه اعداد طبیعی فردِ یک‌رقمی و $B=\{ab\mid \{a,b\}\subseteq A,\ a\neq b\}$، آنگاه مجموعه $B$ را با اعضای آن مشخص کنید.
✅ جواب: برای به‌دست‌آوردن اعضا، هر دو عدد متفاوتِ مجموعهٔ اول را در هم ضرب می‌کنیم و حاصل‌های تکراری را فقط یک‌بار می‌نویسیم.

$B=\{ab\mid \{a,b\}\subseteq A,\ a\neq b\} = \{۳،۵،۷،۹،۱۵،۲۱،۲۷،۳۵،۴۵،۶۳\}$

۱۲. فرض کنید $n$ یک عدد ثابت، $A=\{۳x+n\mid x\in\mathbb{Z}\}$ و $-۲۳\in A$. اگر $\{a,b\}\subseteq A$، آنگاه $a+b$ به چندتا از مجموعه‌های زیر، می‌تواند تعلق داشته باشد؟
✅ جواب: چون باقی‌ماندهٔ تقسیم منفی بیست‌وسه بر سه، یک است، همهٔ اعضای مجموعه نیز همین باقی‌مانده را دارند. پس باقی‌ماندهٔ مجموع دو عضو بر سه، دو است:

$-۲۳=۳(-۸)+۱ \quad\Longrightarrow\quad a=۳k+۱,\quad b=۳m+۱ \quad\Longrightarrow\quad a+b=۳(k+m)+۲$

الف)
$۱۳۹۵=۳\times۴۶۵,\qquad ۱۴۳۸=۳\times۴۷۹+۱,\qquad ۲۰۱۷=۳\times۶۷۲+۱ \quad\Longrightarrow\quad a+b\notin\{۱۳۹۵،۱۴۳۸،۲۰۱۷\}$

ب)
$۱۳۵۷=۳\times۴۵۲+۱,\qquad ۱۳۸۸=۳\times۴۶۲+۲,\qquad ۱۳۳۲=۳\times۴۴۴ \quad\Longrightarrow\quad a+b=۱۳۸۸\ \text{ممکن است}$

پس مجموع دو عضو فقط به ۱ مجموعه، یعنی مجموعهٔ قسمت «ب»، می‌تواند تعلق داشته باشد.

۱۳. فرض کنید $k$ یک عدد ثابت است و $A=\{x^{۲}+k\mid x\in\mathbb{Z},\ -۳\leq x<k\}$. اگر $\{۶،۹\}\subseteq A$، آنگاه مجموعه $A$ را با اعضای آن مشخص کنید.
✅ جواب: دو عدد شش و نه، سه واحد اختلاف دارند. تنها دو مربعِ عدد صحیح که اختلافشان سه است، یک و چهار هستند؛ بنابراین:

$۶-k=۱,\qquad ۹-k=۴ \quad\Longrightarrow\quad k=۵$

اکنون مقدارهای مجاز متغیر و اعضای مجموعه عبارت‌اند از:

$-۳\leq x<۵,\quad x\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad x\in\{-۳،-۲،-۱،۰،۱،۲،۳،۴\}$
$A=\{x^{۲}+۵\mid x\in\mathbb{Z},\ -۳\leq x<۵\} = \{۵،۶،۹،۱۴،۲۱\}$

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۱۰ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۱۱ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.