جواب صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی نهم 🔰 حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

---

جواب صفحه ۷ ریاضی تکمیلی نهم

۱۱. حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
✅ جواب: طبق تعریف ابتدای صفحه، باید هر عضو مجموعهٔ اول را با تک‌تک اعضای مجموعهٔ دوم جمع یا در آن‌ها ضرب کنیم. در مجموعهٔ حاصل، اعضای تکراری فقط یک‌بار نوشته می‌شوند.
الف)$\{۱، -۲، ۳\} \oplus \{۲، ۳، -۱\}$
جمع دونه‌به‌دونه

$\begin{aligned} ۱+۲ &= ۳ & ۱+۳ &= ۴ & ۱+(-۱) &= ۰ \\ -۲+۲ &= ۰ & -۲+۳ &= ۱ & -۲+(-۱) &= -۳ \\ ۳+۲ &= ۵ & ۳+۳ &= ۶ & ۳+(-۱) &= ۲ \end{aligned}$

پس با حذف عضو تکراری:

$\boxed{\{۱، -۲، ۳\}\oplus\{۲، ۳، -۱\} = \{-۳، ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶\}}$

ب)$\{۱، -۲، ۳\} \otimes \{۲، ۳، -۱\}$
ضرب دونه‌به‌دونه

$\begin{aligned} ۱\times۲ &= ۲ & ۱\times۳ &= ۳ & ۱\times(-۱) &= -۱ \\ (-۲)\times۲ &= -۴ & (-۲)\times۳ &= -۶ & (-۲)\times(-۱) &= ۲ \\ ۳\times۲ &= ۶ & ۳\times۳ &= ۹ & ۳\times(-۱) &= -۳ \end{aligned}$

پس با حذف عضو تکراری:

$\boxed{\{۱، -۲، ۳\}\otimes\{۲، ۳، -۱\} = \{-۶، -۴، -۳، -۱، ۲، ۳، ۶، ۹\}}$

۱۲. اگر $(x)$ عددی صحیح باشد، آنگاه عبارت زیر با چه اعدادی می‌تواند برابر باشد؟ برای هریک مثال بیاورید.

$n\left(\{۱، -۱، x\}\otimes\{۱، ۰، -۱\}\right)$

✅ جواب: طبق تعریف ضرب دونه‌به‌دونه، هر عضو مجموعهٔ اول را در تک‌تک اعضای مجموعهٔ دوم ضرب می‌کنیم. پس:

$\{۱، -۱، x\}\otimes\{۱، ۰، -۱\} = \{-۱، ۰، ۱، x، -x\}$

نماد $(n)$ تعداد اعضای مجموعه را نشان می‌دهد؛ اعضای تکراری را فقط یک‌بار می‌شماریم.
حالت اول: اگر عدد انتخاب‌شده صفر، یک یا منفی یک باشد، مجموعهٔ حاصل فقط سه عضو دارد. برای مثال:

$x=۰ \quad\Longrightarrow\quad \{۱، -۱، ۰\}\otimes\{۱، ۰، -۱\}=\{-۱، ۰، ۱\}$
$n\left(\{-۱، ۰، ۱\}\right)=۳$

حالت دوم: اگر عدد انتخاب‌شده غیر از این سه عدد باشد، خودش و قرینه‌اش دو عضو جدید و متمایز هستند؛ بنابراین مجموعهٔ حاصل پنج عضو دارد. برای مثال:

$x=۲ \quad\Longrightarrow\quad \{۱، -۱، ۲\}\otimes\{۱، ۰، -۱\} =\{-۲، -۱، ۰، ۱، ۲\}$
$n\left(\{-۲، -۱، ۰، ۱، ۲\}\right)=۵$

پس پاسخ نهایی فقط سه یا پنج است:

$\boxed{ n\left(\{۱، -۱، x\}\otimes\{۱، ۰، -۱\}\right)\in\{۳، ۵\} }$

۱۳. معادلات زیر را حل کنید.
✅ جواب: طبق تعریف ابتدای صفحه، عملیات را دونه‌به‌دونه انجام می‌دهیم و اعضای تکراری را فقط یک‌بار می‌شماریم.
الف) $n\left(\{۱، ۲، x\}\oplus\{۱، ۰، -۱\}\right)=۴$
مجموعهٔ حاصل برابر است با:

$\{۱، ۲، x\}\oplus\{۱، ۰، -۱\} = \{۰، ۱، ۲، ۳، x-۱، x، x+۱\}$

چهار عضو متمایزِ صفر، یک، دو و سه از قبل وجود دارند؛ پس برای اینکه تعداد اعضا دقیقاً چهار باشد، سه عددِ زیر نباید عضو جدیدی ایجاد کنند:

$x-۱، \quad x، \quad x+۱$

این سه عدد فقط به دو صورت می‌توانند در مجموعهٔ چهارعضوی بالا قرار بگیرند:

$(x-۱، x، x+۱)=(۰، ۱، ۲) \quad\text{یا}\quad (x-۱، x، x+۱)=(۱، ۲، ۳)$

بنابراین:

$\boxed{x\in\{۱، ۲\}}$

ب) $\frac{n\left(\{۱، x\}\otimes\{x، ۱\}\right)} {n\left(\{۱، x\}\right)}=۱$
ابتدا ضرب دونه‌به‌دونه را انجام می‌دهیم:

$\{۱، x\}\otimes\{x، ۱\}=\{۱، x، x^{۲}\}$

برای اینکه کسر برابر یک باشد، تعداد اعضای صورت و مخرج باید برابر باشد؛ پس مربعِ عدد نباید عضو جدیدی ایجاد کند:

$x^{۲}=۱ \quad\text{یا}\quad x^{۲}=x$

از این دو حالت داریم:

$x^{۲}=۱ \Longrightarrow x\in\{-۱، ۱\}$
$x^{۲}=x \Longrightarrow x(x-۱)=۰ \Longrightarrow x\in\{۰، ۱\}$

هر سه مقدار در معادله صدق می‌کنند؛ بنابراین:

$\boxed{x\in\{-۱، ۰، ۱\}}$

ج) $\{x، ۲، ۴\}\oplus\{۰، x\} = \{-x، x، ۰، ۱، -۱\}\otimes\{-x\}$
دو طرف معادله را با تعریف جمع و ضرب دونه‌به‌دونه باز می‌کنیم:

$\{x، ۲، ۴، ۲x، x+۲، x+۴\} = \{x^{۲}، -x^{۲}، ۰، -x، x\}$

سمت راست حتماً عضو صفر دارد؛ بنابراین سمت چپ نیز باید صفر داشته باشد. چون دو و چهار صفر نیستند، باید یکی از حالت‌های زیر برقرار باشد:

$x=۰ \quad\text{یا}\quad ۲x=۰ \quad\text{یا}\quad x+۲=۰ \quad\text{یا}\quad x+۴=۰$

پس فقط این سه مقدار را بررسی می‌کنیم:

$x\in\{۰، -۲، -۴\}$

بررسی صفر:

$\text{سمت چپ}=\{۰، ۲، ۴\} \ne \{۰\}=\text{سمت راست}$

پس صفر جواب نیست.
بررسی منفی دو:

$\text{سمت چپ}=\{-۴، -۲، ۰، ۲، ۴\} = \text{سمت راست}$

پس منفی دو جواب است.
بررسی منفی چهار:

$\text{سمت چپ}=\{-۸، -۴، -۲، ۰، ۲، ۴\}$
$\text{سمت راست}=\{-۱۶، -۴، ۰، ۴، ۱۶\}$

دو مجموعه برابر نیستند؛ پس منفی چهار جواب نیست.
پاسخ نهایی قسمت ج: $\boxed{x=-۲}$

۱۴. اگر $n(A)=۳$ و $n(B)=۵$، آنگاه حداقل و حداکثر مقدار هریک از قسمت‌های زیر چه اعدادی می‌توانند باشند؟ برای هریک مثال بیاورید.
✅ جواب: طبق تعریف ابتدای صفحه، اعضای دو مجموعه عددهای صحیح هستند و جمع و ضرب را دونه‌به‌دونه انجام می‌دهیم.
الف) $n(A\oplus B)$
تعداد اعضای جمع دونه‌به‌دونه
حداقل: هفت عضو
اعضای هر مجموعه را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:

$a_{۱}<a_{۲}<a_{۳} \qquad b_{۱}<b_{۲}<b_{۳}<b_{۴}<b_{۵}$

هفت جمع زیر همگی عضو مجموعهٔ حاصل‌اند و چون به‌ترتیب بزرگ‌تر می‌شوند، متمایزند:

$a_{۱}+b_{۱} < a_{۱}+b_{۲} < a_{۱}+b_{۳} < a_{۱}+b_{۴} < a_{۱}+b_{۵} < a_{۲}+b_{۵} < a_{۳}+b_{۵}$

پس تعداد اعضا نمی‌تواند کمتر از هفت باشد. مثال برای حداقل:

$A=\{۰، ۱، ۲\} \qquad B=\{۰، ۱، ۲، ۳، ۴\}$
$A\oplus B=\{۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶\} \quad\Longrightarrow\quad n(A\oplus B)=۷$

حداکثر: پانزده عضو
هر یک از سه عضو مجموعهٔ اول با پنج عضو مجموعهٔ دوم جمع می‌شود؛ بنابراین:

$n(A\oplus B)\leq ۳\times۵=۱۵$

اگر تمام جمع‌ها متفاوت باشند، این حداکثر به دست می‌آید. مثال:

$A=\{۰، ۱۰، ۲۰\} \qquad B=\{۰، ۱، ۲، ۳، ۴\}$
$A\oplus B= \{۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱۳، ۱۴، ۲۰، ۲۱، ۲۲، ۲۳، ۲۴\}$
$\boxed{\text{حداقل}=۷ \qquad \text{حداکثر}=۱۵}$

ب) $n(A\otimes B)$
تعداد اعضای ضرب دونه‌به‌دونه
حداقل: پنج عضو
مجموعهٔ اول سه عضو متمایز دارد؛ پس حتماً یکی از اعضایش غیرصفر است. ضرب این عضو غیرصفر در پنج عضو متمایز مجموعهٔ دوم، پنج حاصل‌ضرب متمایز می‌دهد. بنابراین تعداد اعضای حاصل کمتر از پنج نیست.
مثال برای حداقل:

$A=\{-۱، ۰، ۱\} \qquad B=\{-۲، -۱، ۰، ۱، ۲\}$
$A\otimes B=\{-۲، -۱، ۰، ۱، ۲\} \quad\Longrightarrow\quad n(A\otimes B)=۵$

حداکثر: پانزده عضو
در مجموع پانزده ضرب انجام می‌دهیم؛ بنابراین:

$n(A\otimes B)\leq ۳\times۵=۱۵$

مثال برای حداکثر:

$A=\{۱، ۱۰، ۱۰۰\} \qquad B=\{۱، ۲، ۳، ۴، ۵\}$
$A\otimes B= \{۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۱۰، ۲۰، ۳۰، ۴۰، ۵۰، ۱۰۰، ۲۰۰، ۳۰۰، ۴۰۰، ۵۰۰\}$

همهٔ این حاصل‌ضرب‌ها متمایزند؛ پس:

$\boxed{\text{حداقل}=۵ \qquad \text{حداکثر}=۱۵}$

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۶ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.