جواب صفحه ۲۷ ریاضیات تکمیلی هشتم ✳️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۲۷ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه هشتم از فصل ۲ «عددهای اول» درس «تعیین عددهای اول» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۲۸ ریاضیات تکمیلی هشتم

فیلم آموزشی صفحه ۲۷ ریاضیات تکمیلی هشتم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۲۷ ریاضیات تکمیلی هشتم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۲۷ ریاضی تکمیلی هشتم

۲. الف) قانون جدول زیر را کشف کنید و جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید.
✅ جواب: اختلاف عددهای متوالی در سطرها، به‌ترتیب ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱ و ۱۳ است. با قرار دادن عددهای ۱ تا ۶ به‌جای $n$، عددهای هر سطر به دست می‌آیند:

ب) فرض کنید سطرها و ستون‌های این جدول را ادامه داده‌اید. نینا ادعا می‌کند که اگر عددی طبیعی، مانند m، در جدول ظاهر شود، آنگاه ۲m + ۱ اول نیست؛ و اگر m در جدول ظاهر نشود، آنگاه ۲m + ۱ عددی اول است. برای مثال m = ۲۲ در جدول ظاهر می‌شود، بنابراین برای m = ۲۲ داریم، ۲m + ۱ = ۲ × ۲۲ + ۱ = ۴۵، که ۴۵ عددی اول نیست. اما m = ۶ در جدول ظاهر نمی‌شود، پس برای m = ۶ داریم، ۲m + ۱ = ۲ × ۶ + ۱ = ۱۳، که ۱۳ عددی اول است. ادعای نینا را برای حداقل پنج عدد دیگر آزمایش کنید.
✅ جواب: عدد ۴ در جدول ظاهر می‌شود و حاصل زیر اول نیست: $\boxed{۲ \times ۴ + ۱ = ۹ = ۳ \times ۳}$
عدد ۷ در جدول ظاهر می‌شود و حاصل زیر اول نیست: $\boxed{۲ \times ۷ + ۱ = ۱۵ = ۳ \times ۵}$
عدد ۱۰ در جدول ظاهر می‌شود و حاصل زیر اول نیست: $\boxed{۲ \times ۱۰ + ۱ = ۲۱ = ۳ \times ۷}$
عدد ۵ در جدول ظاهر نمی‌شود و حاصل زیر اول است: $\boxed{۲ \times ۵ + ۱ = ۱۱}$
عدد ۸ در جدول ظاهر نمی‌شود و حاصل زیر اول است: $\boxed{۲ \times ۸ + ۱ = ۱۷}$
پس در هر پنج آزمایش، ادعای نینا درست است.

ج) همۀ اعداد طبیعی کوچک‌تر از ۵۰ را که در جدول ظاهر نمی‌شوند، بیابید.
✅ جواب: عددهایی در جدول ظاهر نمی‌شوند که دو برابرشان به‌اضافۀ ۱، عددی اول باشد. این عددها عبارت‌اند از:
۱، ۲، ۳، ۵، ۶، ۸، ۹، ۱۱، ۱۴، ۱۵، ۱۸، ۲۰، ۲۱، ۲۳، ۲۶، ۲۹، ۳۰، ۳۳، ۳۵، ۳۶، ۳۹، ۴۱، ۴۴، ۴۸

۳. الف) نشان دهید برای هر عدد طبیعی n که n < ۶۳۱، عددی اول مانند p وجود دارد که n < p ≤ ۲n.
کامبیز الگوی عددی زیر را نوشت و ادعا کرد برای حل مسئلۀ بالا نوشتن همین اعداد کافی است.
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۳، ۲۳، ۴۳، ۸۳، ۱۶۳، ۳۱۷، ۶۳۱
چرا ادعای کامبیز درست است؟
✅ جواب: همۀ عددهای این الگو اول‌اند و هر عدد، از دو برابر عدد قبلی کوچک‌تر است. برای n = ۱، عدد اول ۲ شرط مسئله را دارد: $\boxed{۱ < ۲ \leq ۲ \times ۱}$
برای هر n از ۲ تا ۶۳۰، نخستین عدد الگو را که از n بزرگ‌تر است، p می‌نامیم. عدد قبلی آن را نیز q می‌نامیم. چون p نخستین عدد الگوست که از n بزرگ‌تر است، q از n بزرگ‌تر نیست. همچنین p از دو برابر q کوچک‌تر است؛ پس:$\boxed{q \leq n \quad n < p < ۲q \leq ۲n}$.
بنابراین p عدد اولی است که شرط مسئله را دارد و ادعای کامبیز درست است.

ب) پروژه. اگر n ≥ ۱، ثابت کنید عدد اولی مانند p وجود دارد که n < p ≤ ۲n.با مراجعه به www.webmath.ir نتایج خود را ارسال کنید.
✅ جواب: این حکم درست است و به قضیۀ برتران معروف است: برای هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱، بین آن عدد و دو برابرش، دست‌کم یک عدد اول وجود دارد. برای n = ۱ نیز عدد اول ۲ شرط خواسته‌شده را دارد.
البته بیان این قضیه، اثبات آن نیست؛ اثبات عمومی آن به مطالبی فراتر از روش‌های این درس نیاز دارد. استدلال قسمت الف فقط عددهای طبیعی کوچک‌تر از ۶۳۱ را پوشش می‌دهد و بررسی چند مثال دیگر، جای اثبات برای همۀ عددهای طبیعی را نمی‌گیرد.

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۲۶ ریاضیات تکمیلی هشتم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۲۷ ریاضیات تکمیلی هشتم که مربوط به فصل دو می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.