جواب صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم ♥️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۸ ریاضی تکمیلی نهم

۱۵. فرض کنید $A=\{۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷\}$.
الف) همۀ زیرمجموعه‌های دو عضویِ $(A)$ را بنویسید.
✅ جواب: این مجموعه بیست‌ویک زیرمجموعهٔ دوعضوی دارد:

$\begin{gathered} \{۱،۲\}،\ \{۱،۳\}،\ \{۱،۴\}،\ \{۱،۵\}،\ \{۱،۶\}،\ \{۱،۷\}\\ \{۲،۳\}،\ \{۲،۴\}،\ \{۲،۵\}،\ \{۲،۶\}،\ \{۲،۷\}\\ \{۳،۴\}،\ \{۳،۵\}،\ \{۳،۶\}،\ \{۳،۷\}\\ \{۴،۵\}،\ \{۴،۶\}،\ \{۴،۷\}\\ \{۵،۶\}،\ \{۵،۷\}\\ \{۶،۷\} \end{gathered}$

ب) همۀ زیرمجموعه‌های سه عضویِ $(A)$ را بنویسید.
✅ جواب: این مجموعه سی‌وپنج زیرمجموعهٔ سه‌عضوی دارد:

$\begin{gathered} \{۱،۲،۳\}،\ \{۱،۲،۴\}،\ \{۱،۲،۵\}،\ \{۱،۲،۶\}،\ \{۱،۲،۷\}\\ \{۱،۳،۴\}،\ \{۱،۳،۵\}،\ \{۱،۳،۶\}،\ \{۱،۳،۷\}\\ \{۱،۴،۵\}،\ \{۱،۴،۶\}،\ \{۱،۴،۷\}\\ \{۱،۵،۶\}،\ \{۱،۵،۷\}،\ \{۱،۶،۷\}\\ \{۲،۳،۴\}،\ \{۲،۳،۵\}،\ \{۲،۳،۶\}،\ \{۲،۳،۷\}\\ \{۲،۴،۵\}،\ \{۲،۴،۶\}،\ \{۲،۴،۷\}\\ \{۲،۵،۶\}،\ \{۲،۵،۷\}،\ \{۲،۶،۷\}\\ \{۳،۴،۵\}،\ \{۳،۴،۶\}،\ \{۳،۴،۷\}\\ \{۳،۵،۶\}،\ \{۳،۵،۷\}،\ \{۳،۶،۷\}\\ \{۴،۵،۶\}،\ \{۴،۵،۷\}،\ \{۴،۶،۷\}\\ \{۵،۶،۷\} \end{gathered}$

ج) هفت مجموعه از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعۀ قسمت «الف» زیرمجموعۀ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد. پاسخ خود را با پاسخ هم‌کلاسی‌هایتان مقایسه کنید.
✅ جواب:

$\begin{gathered} \{۱،۲،۳\}،\ \{۱،۴،۵\}،\ \{۱،۶،۷\}،\\ \{۲،۴،۶\}،\ \{۲،۵،۷\}،\ \{۳،۴،۷\}،\ \{۳،۵،۶\} \end{gathered}$

هر مجموعهٔ سه‌عضوی، سه زیرمجموعهٔ دوعضوی دارد. در انتخاب بالا هیچ زوجی تکرار نشده است؛ بنابراین تمام بیست‌ویک زوج، دقیقاً یک‌بار پوشش داده می‌شوند: $۷\times۳=۲۱$

د) هفت زیرمجموعۀ به‌دست آمده در قسمت «ج» را از مجموعه‌های قسمت «ب» حذف کنید و از مجموعه‌های باقی‌مانده، هفت زیرمجموعۀ دیگر بیابید که هر مجموعۀ قسمت «الف» زیرمجموعۀ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد.
✅ جواب: پس از حذف مجموعه‌های قسمت «ج»، می‌توان این هفت مجموعه را انتخاب کرد:

$\begin{gathered} \{۱،۲،۴\}،\ \{۱،۳،۶\}،\ \{۱،۵،۷\}،\\ \{۲،۳،۷\}،\ \{۲،۵،۶\}،\ \{۳،۴،۵\}،\ \{۴،۶،۷\} \end{gathered}$

هیچ‌کدام در پاسخ قسمت «ج» وجود ندارند و هر زوج نیز دقیقاً در یکی از آن‌ها قرار دارد.

هـ) هریک از اعضای مجموعۀ $(A)$ به چند مجموعۀ قسمت «ج» تعلق دارد؟
✅ جواب: هر عضو در سه مجموعه قرار دارد.
زیرا هر عضو باید با شش عضو دیگر، دقیقاً یک‌بار هم‌گروه شود. در هر مجموعهٔ سه‌عضوی، با دو عضو دیگر هم‌گروه می‌شود؛ پس: $\boxed{۶\div۲=۳}$

و) چهارده مجموعۀ به‌دست آمده در قسمت‌های «ج» و «د» را از مجموعه‌های قسمت «ب» حذف کنید. آیا می‌توانید هفت مجموعه از مجموعه‌های باقی‌مانده چنان انتخاب کنید که هر مجموعۀ قسمت «الف» زیرمجموعۀ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد؟
✅ جواب: خیر. برای انتخاب‌های قسمت‌های «ج» و «د»، چنین انتخاب سومی امکان‌پذیر نیست.
برای بررسی، سه مجموعه‌ای که عضو یک دارند باید شش عضو دیگر را دوبه‌دو و بدون تکرار در کنار یک قرار دهند. پس از حذف مجموعه‌های قبلی، فقط چهار حالت زیر باقی می‌ماند:

$\begin{array}{c|ccc} \text{حالت} & \text{مجموعهٔ اول} & \text{مجموعهٔ دوم} & \text{مجموعهٔ سوم}\\ \hline ۱ & \{۱،۲،۵\} & \{۱،۳،۷\} & \{۱،۴،۶\}\\ ۲ & \{۱،۲،۶\} & \{۱،۳،۵\} & \{۱،۴،۷\}\\ ۳ & \{۱،۲،۷\} & \{۱،۳،۴\} & \{۱،۵،۶\}\\ ۴ & \{۱،۲،۷\} & \{۱،۳،۵\} & \{۱،۴،۶\} \end{array}$

با تکمیل زوج‌های باقی‌مانده، در هر حالت ناچار می‌شویم دست‌کم یکی از دو مجموعهٔ مقابل آن را انتخاب کنیم:

$\begin{array}{c|c} \text{حالت}&\text{یکی از این دو مجموعه ناگزیر است}\\ ۱&\{۳،۵،۶\}\quad\text{یا}\quad\{۳،۴،۵\}\\ ۲&\{۲،۵،۷\}\quad\text{یا}\quad\{۲،۳،۷\}\\ ۳&\{۲،۴،۶\}\quad\text{یا}\quad\{۴،۶،۷\}\\ ۴&\{۲،۵،۶\}\quad\text{یا}\quad\{۳،۴،۷\} \end{array}$

اما همهٔ این مجموعه‌ها قبلاً در قسمت «ج» یا «د» استفاده و حذف شده‌اند؛ بنابراین هیچ‌یک از چهار حالت قابل تکمیل نیست.

ز) آیا مسئلۀ زیر جوابی متفاوت از جواب‌های قسمت «ج» دارد؟
زیرمجموعه‌هایی از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعۀ قسمت «الف» زیرمجموعۀ دقیقاً یکی از این مجموعه‌ها باشد.

✅ جواب: خیر؛ شرط هفت‌تایی بودن خودبه‌خود برقرار می‌شود.
باید تمام بیست‌ویک زیرمجموعهٔ دوعضوی، دقیقاً یک‌بار پوشش داده شوند. هر مجموعهٔ سه‌عضوی دقیقاً سه زوج دارد؛ پس تعداد مجموعه‌های انتخاب‌شده الزاماً برابر است با: $\boxed{۲۱\div۳=۷}$
بنابراین مسئلهٔ قسمت «ز» همان جواب‌های قسمت «ج» را دارد.

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۷ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.