پاسخ صفحه ۲۵ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «بی‌شمارش» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.
جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۲۶ ریاضیات تکمیلی نهم
فیلم آموزشی صفحه ۲۵ ریاضیات تکمیلی نهم
در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۲۵ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.
جواب صفحه ۲۵ ریاضی تکمیلی نهم
۱۱. مجموعهٔ شامل همهٔ اعداد سه‌رقمی با رقم‌های متفاوت است که با ارقام ۱، ۲، ۳، ۴ و ۵ نوشته می‌شوند.
الف) همهٔ اعضای مجموعهٔ را طوری در یک جدول بچینید که اعداد هر ستون با هم هم‌رقم باشند.
✅ جواب: در هر ستون، همهٔ عددهایی را می‌نویسیم که مجموعهٔ رقم‌هایشان یکسان است:
ب) همهٔ زیرمجموعه‌های سه عضوی مجموعهٔ را در یک ردیف بنویسید و آنها را با اعداد جدول قسمت «الف» مقایسه کنید.
✅ جواب: همهٔ زیرمجموعه‌های سه‌عضوی عبارت‌اند از:
هر زیرمجموعه، مجموعهٔ رقم‌های عددهای یک ستون است. سه رقمِ متفاوت را می‌توان به شش ترتیب چید؛ بنابراین هر زیرمجموعه با شش عدد متناظر است. پس تعداد اعضای مجموعهٔ سؤال، شش برابر تعداد زیرمجموعه‌های سه‌عضوی است.
۱۲. فرض کنید اعضای مجموعهٔ همهٔ حالت‌هایی را نشان دهد که از پنج خانم، سه نفر برای شرکت در مسابقه‌ای انتخاب شده باشند و مجموعهٔ همهٔ حالت‌هایی باشد که سه آقا می‌توانند در یک صف، پشت‌سرهم بایستند. با ذکر دلیل، مشخص کنید کدام‌یک از جمله‌های زیر درست هستند.
الف) برابر است با تعداد زیرمجموعه‌های سه عضوی یک مجموعهٔ پنج عضوی.
ب) برابر است با تعداد زیرمجموعه‌های سه عضوی یک مجموعهٔ سه عضوی.
ج) تعداد اعداد سه‌رقمی که رقم تکراری ندارند و هر سه رقم آنها فرد هستند برابر است با .
✅ جواب:
الف) درست است. هر انتخابِ سه نفر از پنج نفر، دقیقاً یک زیرمجموعهٔ سه‌عضوی از مجموعهٔ پنج‌نفره را مشخص می‌کند. ترتیب انتخاب افراد نیز اهمیتی ندارد.
ب) نادرست است. یک مجموعهٔ سه‌عضوی فقط یک زیرمجموعهٔ سه‌عضوی دارد که خودِ آن مجموعه است؛ اما سه نفر می‌توانند به شش ترتیب متفاوت در صف بایستند: .
ج) درست است. پنج رقمِ فرد داریم: .
برای ساختن هر عددِ موردنظر، ابتدا سه رقم متفاوت از این پنج رقم انتخاب می‌کنیم؛ تعداد این انتخاب‌ها با تعداد انتخاب سه خانم از پنج خانم برابر است. سپس سه رقم انتخاب‌شده را مرتب می‌کنیم؛ تعداد ترتیب‌ها نیز با تعداد حالت‌های صف‌بستن سه آقا برابر است. بنابراین: . پس عبارت‌های «الف» و «ج» درست‌اند.
۱۳. فرض کنید مجموعهٔ شامل همهٔ اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۹ باشد که رقم‌های آنها از چپ به راست افزایشی هستند. برای مثال، رقم‌های اعداد ۵۸ و ۱۲۵۷ از چپ به راست افزایشی است ولی رقم‌های اعداد ۴۳ و ۱۴۵۸۸ از چپ به راست افزایشی نیست. کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست است؟
الف) مجموعهٔ بی‌شمار عضو دارد.
ب) اگر ، آنگاه تعداد زیرمجموعه‌های برابر است با .
✅ جواب: گزینهٔ «ب» درست است.
الف) نادرست است. رقم‌ها باید از چپ به راست اکیداً افزایش یابند؛ پس هیچ رقمی تکرار نمی‌شود. رقم صفر نیز نمی‌تواند در این عددها باشد، چون باید پیش از همهٔ رقم‌ها قرار بگیرد و رقم اولِ عدد نمی‌تواند صفر باشد. بنابراین هر عدد حداکثر نه رقم دارد و بزرگ‌ترین عددِ ممکن چنین است: .
پس این مجموعه تعداد متناهی عضو دارد.
ب) درست است. هر زیرمجموعهٔ دارای دست‌کم دو عضو از مجموعهٔ داده‌شده را به ترتیب افزایشی می‌نویسیم؛ دقیقاً یک عدد از مجموعهٔ سؤال ساخته می‌شود. برعکس، رقم‌های هر عددِ موردنظر نیز یکی از همین زیرمجموعه‌ها را مشخص می‌کنند.
تنها زیرمجموعه‌هایی که با عددهای موردنظر متناظر نیستند، مجموعهٔ تهی و نه زیرمجموعهٔ تک‌عضوی‌اند؛ یعنی در مجموع ده زیرمجموعه. بنابراین:
⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.
جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۲۴ ریاضیات تکمیلی نهم
🔔 در این بخش جواب صفحه ۲۵ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.
