جواب صفحه ۱۳ ریاضیات تکمیلی نهم ❇️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۱۳ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۱۴ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۱۳ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۱۳ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۱۳ ریاضی تکمیلی نهم

۱. اگر $A=\{۴،۵،a\}$ و $B=\{۱،b،۵،۷\}$ و $A\cup B=\{۵،۷،۱،۲،۶،c\}$، آنگاه مقدار $a+b+c$ را به‌دست آورید.
✅ جواب: عدد چهار عضو مجموعهٔ اول است؛ پس باید در اجتماع نیز باشد. بنابراین مقدار مجهولِ اجتماع، چهار است. همچنین عددهای دو و شش باید از دو عضو مجهولِ مجموعه‌های اولیه آمده باشند:

$\boxed{c=۴,\qquad \{a،b\}=\{۲،۶\} \quad\Longrightarrow\quad a+b+c=۲+۶+۴=۱۲}$

۲. اجتماع دو مجموعهٔ $\boxed{A}$ و $\boxed{B}$، ۲۵ عضو دارد. به مجموعهٔ $\boxed{A}$، ۱۰ عضو جدید اضافه کرده‌ایم؛ به اشتراک آن‌ها ۹ عضو اضافه شده است. اجتماع مجموعهٔ $\boxed{B}$ و مجموعهٔ جدید حاصل از $\boxed{A}$ چند عضو دارد؟
✅ جواب: از ۱۰ عضو جدید، ۹ عضو از قبل در مجموعهٔ دوم بوده‌اند؛ بنابراین فقط یک عضو به اجتماع اضافه می‌شود.
$\boxed{۲۵+(۱۰-۹)=۲۶}$، پس اجتماع جدید ۲۶ عضو دارد.

۳. الف) چند مجموعهٔ $\boxed{A}$ در رابطه‌های $\boxed{A\cap X=A}$ و $\boxed{A\cup X=\{۱،۲\}}$ صدق می‌کند؟
✅ جواب: رابطهٔ اول نشان می‌دهد مجموعهٔ اول زیرمجموعهٔ مجموعهٔ دوم است؛ بنابراین اجتماع آن‌ها همان مجموعهٔ دوم خواهد بود: $\boxed{A\subseteq X,\quad X=\{۱،۲\}}$، پس مجموعهٔ اول می‌تواند هرکدام از چهار زیرمجموعهٔ زیر باشد بنابراین پاسخ ۴ مجموعه است:

$\boxed{A=\varnothing\quad\text{یا}\quad A=\{۱\}\quad\text{یا}\quad A=\{۲\}\quad\text{یا}\quad A=\{۱،۲\}}$

ب) چند مجموعهٔ $\boxed{X}$ در رابطه‌های $\boxed{A\cup X=A}$ و $\boxed{A\cap X=\{۱،۲\}}$ صدق می‌کند؟
✅ جواب: رابطهٔ اول نشان می‌دهد مجموعهٔ دوم زیرمجموعهٔ مجموعهٔ اول است؛ پس اشتراک آن‌ها همان مجموعهٔ دوم است، بنابراین فقط ۱ مجموعه وجود دارد:

$\boxed{X\subseteq A\quad\Longrightarrow\quad A\cap X=X=\{۱،۲\}}$

۴. حاصل عبارت‌های زیر را با نمادهای ریاضی نمایش دهید.
الف) $\boxed{\{۲x\mid x\in\mathbb{N}\}\cup\{۲x-۱\mid x\in\mathbb{N}\}}$
✅ جواب: اجتماع عددهای طبیعی زوج و فرد، همهٔ عددهای طبیعی است.

$\boxed{\{۲x\mid x\in\mathbb{N}\}\cup\{۲x-۱\mid x\in\mathbb{N}\}=\mathbb{N}}$

ب) $\boxed{\{۵x\mid x\in\mathbb{N}\}\cap\{۴x\mid x\in\mathbb{N}\}}$
✅ جواب: مضرب‌های مشترک پنج و چهار، مضرب‌های بیست هستند.

$\boxed{\{۵x\mid x\in\mathbb{N}\}\cap\{۴x\mid x\in\mathbb{N}\}=\{۲۰x\mid x\in\mathbb{N}\}}$

ج) $\boxed{\{۴x-۲\mid x\in\mathbb{N}\}\cup\{۴x\mid x\in\mathbb{N}\}}$
✅ جواب: مجموعهٔ اول شامل عددهای دو، شش، ده و… و مجموعهٔ دوم شامل عددهای چهار، هشت، دوازده و… است؛ اجتماع آن‌ها همهٔ عددهای طبیعی زوج است.

$\boxed{\{۴x-۲\mid x\in\mathbb{N}\}\cup\{۴x\mid x\in\mathbb{N}\}=\{۲x\mid x\in\mathbb{N}\}}$

د) $\boxed{\{۳x-۱\mid x\in\mathbb{N}\}\cap\{۳x+۲\mid x\in\mathbb{N}\}}$
✅ جواب: مجموعهٔ دوم همان مجموعهٔ اول است که عدد دو از آن حذف شده؛ پس اشتراک برابر مجموعهٔ دوم است.

$\boxed{\{۳x-۱\mid x\in\mathbb{N}\}\cap\{۳x+۲\mid x\in\mathbb{N}\}=\{۳x+۲\mid x\in\mathbb{N}\}}$

۵. در هر قسمت، مجموعهٔ $\boxed{A}$ را تعیین کنید به‌طوری‌که مجموع اعضای $\boxed{A}$ برابر ۱۸ باشد.
الف) $\boxed{A\cup B=\{۱،۲،۳،۴،۵،۶،۷\},\quad B=\{۲،۳،۴،۵\}}$
✅ جواب: عددهای یک، شش و هفت در اجتماع هستند ولی در مجموعهٔ دوم نیستند؛ پس حتماً عضو مجموعهٔ اول‌اند. مجموعشان چهارده است؛ برای رسیدن به هجده باید عدد چهار را نیز انتخاب کنیم. $\boxed{A=\{۱،۴،۶،۷\},\qquad ۱+۴+۶+۷=۱۸}$

ب) $\boxed{A\cup B=\{۲،۳،۴،۵،۶،۷\},\quad B=\{۲،۳،۵،۷\}}$
✅ جواب: عددهای چهار و شش حتماً عضو مجموعهٔ اول‌اند و مجموعشان ده است. از اعضای مجموعهٔ دوم، فقط انتخاب سه و پنج مجموع هشت را می‌دهد. $\boxed{A=\{۳،۴،۵،۶\},\qquad ۳+۴+۵+۶=۱۸}$

ج) $\boxed{A\cup B=\{۱،۲،۳،۴،۵،۶\},\quad A\cap B=\{۲،۴\}}$
✅ جواب: عددهای دو و چهار حتماً عضو مجموعهٔ اول‌اند. مجموعشان شش است؛ پس از عددهای باقی‌مانده باید مجموع دوازده را بسازیم که تنها با انتخاب یک، پنج و شش ممکن است. $\boxed{A=\{۱،۲،۴،۵،۶\},\qquad ۱+۲+۴+۵+۶=۱۸}$

۶. کدام‌یک از عبارت‌های زیر، قسمت هاشورخوردهٔ شکل را نشان می‌دهند؟
الف) $\boxed{A\cap(B\cup C)}$
ب) $\boxed{A\cup(B\cup C)}$
ج) $\boxed{(A\cap B)\cup C}$
د) $\boxed{(A\cup B)\cap C}$
✅ جواب: قسمت هاشورخورده شامل بخش‌هایی از دایرهٔ سوم است که در دایرهٔ اول یا دوم نیز قرار دارند؛ بنابراین گزینهٔ «د» درست است. $\boxed{(A\cap C)\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap C}$

۷. اگر $\boxed{A=\{۲x-۱\mid x\in\mathbb{N},x<۱۱\}}$، $\boxed{B=\{x\mid x\in\mathbb{N},-۱۱<x<۱۱\}}$ و $\boxed{C=\{۳x\mid x\in\mathbb{N}\}}$، آنگاه در کدام‌یک از مجموعه‌های زیر، حاصل جمع همهٔ اعضا بر ۳ بخش‌پذیر است؟

نکته: ابتدا اعضای مجموعه‌ها را مشخص می‌کنیم: $\boxed{A=\{۱،۳،۵،۷،۹،۱۱،۱۳،۱۵،۱۷،۱۹\}},\quad{B=\{۱،۲،۳،۴،۵،۶،۷،۸،۹،۱۰\},\quad C=\{۳،۶،۹،۱۲،۱۵،\ldots\}}$

الف) $\boxed{(A\cup B)\cap(A\cup C)}$
✅ جواب: با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری: $\boxed{(A\cup B)\cap(A\cup C)=A\cup(B\cap C)=A\cup\{۳،۶،۹\}}$
چون سه و نه از قبل در مجموعهٔ اول هستند، فقط شش به آن اضافه می‌شود. مجموع اعضا: $\boxed{(۱+۳+۵+۷+۹+۱۱+۱۳+۱۵+۱۷+۱۹)+۶=۱۰۶=۳\times۳۵+۱}$
پس بر سه بخش‌پذیر نیست.

ب) $\boxed{(A\cap C)\cup B}$
✅ جواب: اشتراک مجموعهٔ اول و سوم شامل سه، نه و پانزده است: $\boxed{(A\cap C)\cup B=\{۳،۹،۱۵\}\cup B=\{۱،۲،۳،۴،۵،۶،۷،۸،۹،۱۰،۱۵\}}$
مجموع اعضا:$\boxed{۱+۲+۳+۴+۵+۶+۷+۸+۹+۱۰+۱۵=۷۰=۳\times۲۳+۱}$
پس این مجموع نیز بر سه بخش‌پذیر نیست؛ بنابراین پاسخ «هیچ‌کدام» است.

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۱۲ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۱۳ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.