جواب صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی نهم ✏️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۱۰ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۹ ریاضی تکمیلی نهم

۱۶. مجموعهٔ زیر را در نظر بگیرید. $V=\{a,b,c,d,e,f\}$
الف) هشت زیرمجموعهٔ سه‌عضوی از V چنان انتخاب کنید که هر زیرمجموعهٔ دوعضوی V یا زیرمجموعهٔ دقیقاً دوتا از این هشت مجموعه باشد یا زیرمجموعهٔ هیچ‌کدام از این هشت مجموعه نباشد.
✅ جواب: ابتدا اعضا را به سه گروه دوتایی تقسیم می‌کنیم: $\{a,b\},\quad \{c,d\},\quad \{e,f\}$
از هر گروه یک عضو انتخاب می‌کنیم. با این روش، هشت مجموعهٔ زیر به دست می‌آید:

$\begin{gathered} \{a,c,e\},\quad \{a,c,f\},\\ \{a,d,e\},\quad \{a,d,f\},\\ \{b,c,e\},\quad \{b,c,f\},\\ \{b,d,e\},\quad \{b,d,f\} \end{gathered}$

دو عضو از یک گروه هیچ‌وقت با هم انتخاب نمی‌شوند؛ بنابراین زوج‌های زیر در هیچ‌کدام از هشت مجموعه نیستند:

$\{a,b\},\quad \{c,d\},\quad \{e,f\}$

دو عضو از دو گروه متفاوت دقیقاً در دو مجموعه قرار می‌گیرند؛ زیرا برای عضو سوم، دو انتخاب از گروه باقی‌مانده داریم. مثلاً:

$\{a,c\}\subseteq\{a,c,e\} \quad \{a,c\}\subseteq\{a,c,f\}$

پس هر زوج یا صفر بار یا دقیقاً دو بار ظاهر می‌شود.

ب) ده مجموعه از زیرمجموعه‌های سه‌عضوی V چنان انتخاب کنید که هر زیرمجموعهٔ دوعضوی V زیرمجموعهٔ دقیقاً دوتا از این ده مجموعه باشد.

✅ جواب: یک انتخاب مناسب، این ده مجموعه است:

$\begin{gathered} \{a,b,c\},\quad \{a,b,d\},\\ \{a,c,e\},\quad \{a,d,f\},\\ \{a,e,f\},\quad \{b,c,f\},\\ \{b,d,e\},\quad \{b,e,f\},\\ \{c,d,e\},\quad \{c,d,f\} \end{gathered}$

برای بررسی، در جدول زیر مقابل هر زوج، دو مجموعهٔ شامل آن آمده است:

$\begin{array}{c|cc} \text{زوج} & \text{مجموعهٔ اول} & \text{مجموعهٔ دوم}\\ \hline \{a,b\} & \{a,b,c\} & \{a,b,d\}\\ \{a,c\} & \{a,b,c\} & \{a,c,e\}\\ \{a,d\} & \{a,b,d\} & \{a,d,f\}\\ \{a,e\} & \{a,c,e\} & \{a,e,f\}\\ \{a,f\} & \{a,d,f\} & \{a,e,f\}\\ \{b,c\} & \{a,b,c\} & \{b,c,f\}\\ \{b,d\} & \{a,b,d\} & \{b,d,e\}\\ \{b,e\} & \{b,d,e\} & \{b,e,f\}\\ \{b,f\} & \{b,c,f\} & \{b,e,f\}\\ \{c,d\} & \{c,d,e\} & \{c,d,f\}\\ \{c,e\} & \{a,c,e\} & \{c,d,e\}\\ \{c,f\} & \{b,c,f\} & \{c,d,f\}\\ \{d,e\} & \{b,d,e\} & \{c,d,e\}\\ \{d,f\} & \{a,d,f\} & \{c,d,f\}\\ \{e,f\} & \{a,e,f\} & \{b,e,f\} \end{array}$

بنابراین هر پانزده زیرمجموعهٔ دوعضوی، دقیقاً در دو مجموعهٔ انتخاب‌شده قرار دارد.

۱۷. پروژه. مسئلهٔ دختران مدرسهٔ کرکمن. در سال ۱۸۵۰ میلادی، آقای کرکمن می‌خواست پانزده دانش‌آموزش را در هر روز هفته به گروه‌های سه‌نفره تقسیم کند. از طرفی او می‌خواست هر دانش‌آموز با هریک از دانش‌آموزان دیگر، دقیقاً یک‌بار هم‌گروه باشد. با چنین شرایطی، آقای کرکمن با چه روشی باید جدول زیر را پر می‌کرد؟
✅ جواب: دانش‌آموزان را از ۱ تا ۱۵ شماره‌گذاری می‌کنیم. یک برنامهٔ مناسب، جدول زیر است؛ هر خانه شمارهٔ سه دانش‌آموزِ هم‌گروه را نشان می‌دهد.

$\begin{array}{c|ccccc} \text{روز} & \text{گروه ۱} & \text{گروه ۲} & \text{گروه ۳} & \text{گروه ۴} & \text{گروه ۵}\\ \hline \text{شنبه} & \{۱،۲،۳\} & \{۴،۸،۱۲\} & \{۵،۱۰،۱۵\} & \{۶،۱۱،۱۳\} & \{۷،۹،۱۴\}\\ \text{یکشنبه} & \{۱،۴،۵\} & \{۲،۸،۱۰\} & \{۳،۱۳،۱۴\} & \{۶،۹،۱۵\} & \{۷،۱۱،۱۲\}\\ \text{دوشنبه} & \{۱،۶،۷\} & \{۲،۹،۱۱\} & \{۳،۱۲،۱۵\} & \{۴،۱۰،۱۴\} & \{۵،۸،۱۳\}\\ \text{سه‌شنبه} & \{۱،۸،۹\} & \{۲،۱۲،۱۴\} & \{۳،۵،۶\} & \{۴،۱۱،۱۵\} & \{۷،۱۰،۱۳\}\\ \text{چهارشنبه} & \{۱،۱۰،۱۱\} & \{۲،۱۳،۱۵\} & \{۳،۴،۷\} & \{۵،۹،۱۲\} & \{۶،۸،۱۴\}\\ \text{پنجشنبه} & \{۱،۱۲،۱۳\} & \{۲،۴،۶\} & \{۳،۹،۱۰\} & \{۵،۱۱،۱۴\} & \{۷،۸،۱۵\}\\ \text{جمعه} & \{۱،۱۴،۱۵\} & \{۲،۵،۷\} & \{۳،۸،۱۱\} & \{۴،۹،۱۳\} & \{۶،۱۰،۱۲\} \end{array}$

۱. هر روز تمام دانش‌آموزان حضور دارند.
در هر سطر، شماره‌های ۱ تا ۱۵ دقیقاً یک‌بار آمده‌اند؛ پس هر دانش‌آموز در آن روز عضو دقیقاً یک گروه است.
۲. هیچ دو دانش‌آموزی دوبار هم‌گروه نمی‌شوند.
با بررسی گروه‌های جدول، هیچ زوجی تکرار نشده است. مثلاً دانش‌آموز شمارهٔ یک، به‌ترتیب روزهای هفته با این افراد هم‌گروه می‌شود:

$\{۲،۳\}،\quad \{۴،۵\}،\quad \{۶،۷\}،\quad \{۸،۹\}،\quad \{۱۰،۱۱\}،\quad \{۱۲،۱۳\}،\quad \{۱۴،۱۵\}$

۳. هر دانش‌آموز با تمام چهارده نفر دیگر هم‌گروه می‌شود.
هر روز دو هم‌گروهی دارد و در هفت روز، بدون تکرار با چهارده نفر هم‌گروه می‌شود: $۷\times۲=۱۴$
بنابراین جدول، هر دو شرط مسئله را برآورده می‌کند.

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۸ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۹ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.