اخبارعلمی

جواب صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم ✍️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

گام به گام حل سوالات صفحه 41 ریاضی تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان کلاس نهم فصل 2 عددهای حقیقی درس قدرمطلق و محاسبۀ تقریبی

پاسخ صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۲ «عددهای حقیقی» درس «قدرمطلق و محاسبۀ تقریبی» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۴۲ ریاضیات تکمیلی نهم

نوشته های مشابه
جواب صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم
جواب صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۴۱ ریاضی تکمیلی نهم

۵. مجموعۀ اعداد حقیقی را به دو زیرمجموعه که هریک بی‌شمار عضو دارند، افراز کنید.
✅ جواب: می‌توان مجموعۀ اعداد حقیقی را به دو زیرمجموعۀ اعداد گویا و اعداد گنگ افراز کرد:

A=ℚ,B=ℝ∖ℚ\boxed{ A=\mathbb{Q},\qquad B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} }

هر دو زیرمجموعه بی‌شمار عضو دارند، اشتراک آن‌ها تهی است و اجتماع آن‌ها مجموعۀ اعداد حقیقی است:

A∩B=⌀,A∪B=ℝ\boxed{ A\cap B=\varnothing,\qquad A\cup B=\mathbb{R} }

۶. مجموعۀ اعداد طبیعی را به دو زیرمجموعه که هریک بی‌شمار عضو دارند، افراز کنید و هر زیرمجموعه را با نمادهای ریاضی نمایش دهید.
✅ جواب: می‌توان اعداد طبیعی را به دو زیرمجموعۀ اعداد زوج و اعداد فرد افراز کرد:

A={۲k|k∈ℕ}={۲،۴،۶،۸،…}B={۲k−۱|k∈ℕ}={۱،۳،۵،۷،…}\boxed{ \begin{aligned} A&=\{۲k\mid k\in\mathbb{N}\}=\{۲،۴،۶،۸،\ldots\}\\ B&=\{۲k-۱\mid k\in\mathbb{N}\}=\{۱،۳،۵،۷،\ldots\} \end{aligned} }

هر دو زیرمجموعه بی‌شمار عضو دارند، اشتراک آن‌ها تهی است و اجتماع آن‌ها مجموعۀ اعداد طبیعی است:

A∩B=⌀,A∪B=ℕ\boxed{ A\cap B=\varnothing,\qquad A\cup B=\mathbb{N} }

۷. الف) مجموعۀ ℕ\boxed{\mathbb{N}} را به سه زیر مجموعۀ A\boxed{A}، B\boxed{B} و C\boxed{C} که هریک بی‌شمار عضو دارند، افراز کرده‌ایم. اگر A\boxed{A}، B\boxed{B} و C\boxed{C} به‌صورت زیر باشند، آنگاه جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.
✅ جواب:

A={۳x|x∈◯},B={۳x−◯|x∈ℕ},C={◯x+◯|x∈◯}\boxed{ A=\{۳x\mid x\in\bigcirc\},\quad B=\{۳x-\bigcirc\mid x\in\mathbb{N}\},\quad C=\{\bigcirc x+\bigcirc\mid x\in\bigcirc\} }

یک پاسخ مناسب چنین است:

A={۳x|x∈ℕ}={۳،۶،۹،…}B={۳x−۱|x∈ℕ}={۲،۵،۸،…}C={۳x+۱|x∈ℕ∪{۰}}={۱،۴،۷،…}\boxed{ \begin{aligned} A&=\{۳x\mid x\in\mathbb{N}\}=\{۳،۶،۹،\ldots\}\\ B&=\{۳x-۱\mid x\in\mathbb{N}\}=\{۲،۵،۸،\ldots\}\\ C&=\{۳x+۱\mid x\in\mathbb{N}\cup\{۰\}\}=\{۱،۴،۷،\ldots\} \end{aligned} }

ب) اگر x,y∈B\boxed{x,y\in B}، آیا می‌توان گفت x+y\boxed{x+y} عضو کدام مجموعه است؟
✅ جواب: بله، با انتخاب بالا، مجموع آن‌ها عضو مجموعۀ C است؛ زیرا:

x=۳k−۱,y=۳l−۱(k,l∈ℕ)x+y=۳(k+l)−۲=۳(k+l−۱)+۱∈C\boxed{ \begin{aligned} x&=۳k-۱,\qquad y=۳l-۱ \qquad (k,l\in\mathbb{N})\\ x+y&=۳(k+l)-۲\\ &=۳(k+l-۱)+۱\in C \end{aligned} }

۸. مجموعۀ اعداد صحیح را به پنج زیرمجموعه که هر کدام بی‌شمار عضو دارند، افراز کنید و هر زیرمجموعه را با نمادهای ریاضی نمایش دهید.
✅ جواب: اعداد صحیح را بر اساس باقی‌ماندۀ تقسیم بر ۵ به پنج زیرمجموعه افراز می‌کنیم:

A={۵k|k∈ℤ}B={۵k+۱|k∈ℤ}C={۵k+۲|k∈ℤ}D={۵k+۳|k∈ℤ}E={۵k+۴|k∈ℤ}\boxed{ \begin{aligned} A&=\{۵k\mid k\in\mathbb{Z}\}\\ B&=\{۵k+۱\mid k\in\mathbb{Z}\}\\ C&=\{۵k+۲\mid k\in\mathbb{Z}\}\\ D&=\{۵k+۳\mid k\in\mathbb{Z}\}\\ E&=\{۵k+۴\mid k\in\mathbb{Z}\} \end{aligned} }

هر زیرمجموعه بی‌شمار عضو دارد و اشتراک هر دو زیرمجموعۀ متفاوت تهی است. هر عدد صحیح دقیقاً در یکی از این پنج زیرمجموعه قرار می‌گیرد؛ بنابراین: A∪B∪C∪D∪E=ℤ\boxed{A\cup B\cup C\cup D\cup E=\mathbb{Z}}

۹. فرض کنید مجموعۀ اعداد صحیح به سه زیرمجموعۀ A\boxed{A}، B\boxed{B} و C\boxed{C} که هریک بی‌شمار عضو دارند، افراز شده باشند. اگر A={۶k+۲|k∈ℕ}\boxed{A=\{۶k+۲\mid k\in\mathbb{N}\}} و B={۶k−۱|k∈ℕ}\boxed{B=\{۶k-۱\mid k\in\mathbb{N}\}}، کدام‌یک از عددهای زیر عضو مجموعۀ C\boxed{C} است؟

فلا) −۱۱ب) −۱۹ج) −۳۲د) ۵۳فلا)\ \boxed{-۱۱}\qquad ب)\ \boxed{-۱۹}\qquad ج)\ \boxed{-۳۲}\qquad د)\ \boxed{۵۳}

✅ جواب: چون k طبیعی است، اعضای A و B مثبت‌اند؛ بنابراین هیچ‌یک از سه عدد منفی داده‌شده عضو A یا B نیستند. از آنجا که این سه مجموعه افرازی از اعداد صحیح‌اند، هر سه عدد منفی عضو C هستند:

−۱۱∈C,−۱۹∈C,−۳۲∈C\boxed{-۱۱\in C,\qquad -۱۹\in C,\qquad -۳۲\in C}

اما ۵۳ عضو B است و در نتیجه عضو C نیست: ۵۳=۶×۹−۱∈B⟹۵۳∉C\boxed{۵۳=۶\times۹-۱\in B\quad\Longrightarrow\quad۵۳\notin C}
پس گزینه‌های الف، ب و ج عضو مجموعۀ C هستند.

۱۰. ریاضی‌دان‌ها مجموعۀ اعداد گنگ را به دو زیرمجموعه افراز کرده‌اند. در این‌باره تحقیق کنید.
✅ جواب: اعداد گنگ را به دو زیرمجموعۀ اعداد گنگِ جبری و اعداد متعالی افراز می‌کنند.
اعداد گنگِ جبری، عددهای گنگی هستند که جواب یک معادلۀ چندجمله‌ایِ غیرصفر با ضرایب صحیح‌اند. برای مثال، رادیکال ۲ عددی گنگ و جبری است؛ زیرا: x=۲⟹x۲−۲=۰\boxed{x=\sqrt{۲}\quad\Longrightarrow\quad x^{۲}-۲=۰}
اعداد متعالی، عددهایی هستند که جواب هیچ معادلۀ چندجمله‌ایِ غیرصفر با ضرایب صحیح نیستند. عدد پی نمونه‌ای از این عددهاست: π\boxed{\pi}. این دو زیرمجموعه اشتراک ندارند و اجتماع آن‌ها مجموعۀ اعداد گنگ است.

۱. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را بدون استفاده از نماد قدرمطلق بنویسید.
الف) −۱−|۱−|−۱||\boxed{-۱-\left|۱-|-۱|\right|}
✅ جواب: داریم: −۱−|۱−|−۱||=−۱−|۱−۱|=−۱\boxed{ -۱-\left|۱-|-۱|\right| =-۱-|۱-۱| =-۱ }

ب) |۲۵−۵|\boxed{\left|۲\sqrt{۵}-\sqrt{۵}\right|}
✅ جواب: چون رادیکال ۵ مثبت است: |۲۵−۵|=|۵|=۵\boxed{ \left|۲\sqrt{۵}-\sqrt{۵}\right| =\left|\sqrt{۵}\right| =\sqrt{۵} }

ج) |۲−۳|−۳|۱−۳|\boxed{\left|۲-\sqrt{۳}\right|-\sqrt{۳}\left|۱-\sqrt{۳}\right|}
✅ جواب: چون رادیکال ۳ بین ۱ و ۲ است:

|۲−۳|−۳|۱−۳|=۲−۳−۳(۳−۱)=۲−۳−۳+۳=−۱\boxed{ \begin{aligned} \left|۲-\sqrt{۳}\right|-\sqrt{۳}\left|۱-\sqrt{۳}\right| &=۲-\sqrt{۳}-\sqrt{۳}(\sqrt{۳}-۱)\\ &=۲-\sqrt{۳}-۳+\sqrt{۳}\\ &=-۱ \end{aligned} }

د) |۱۰−π۲|\boxed{\left|۱۰-\pi^{۲}\right|}
✅ جواب: چون مجذور پی تقریباً ۹٫۸۷ و کوچک‌تر از ۱۰ است: |۱۰−π۲|=۱۰−π۲\boxed{\left|۱۰-\pi^{۲}\right|=۱۰-\pi^{۲}}

هـ) |(۲)۳−(۳)۲|−(۲−۳)۲\boxed{\left|(\sqrt{۲})^{۳}-(\sqrt{۳})^{۲}\right|-\sqrt{(\sqrt{۲}-\sqrt{۳})^{۲}}}
✅ جواب: چون دو برابر رادیکال ۲ کوچک‌تر از ۳ و رادیکال ۲ کوچک‌تر از رادیکال ۳ است:

|(۲)۳−(۳)۲|−(۲−۳)۲=|۲۲−۳|−|۲−۳|=۳−۲۲−(۳−۲)=۳−۲−۳\boxed{ \begin{aligned} \left|(\sqrt{۲})^{۳}-(\sqrt{۳})^{۲}\right| -\sqrt{(\sqrt{۲}-\sqrt{۳})^{۲}} &=\left|۲\sqrt{۲}-۳\right|-\left|\sqrt{۲}-\sqrt{۳}\right|\\ &=۳-۲\sqrt{۲}-(\sqrt{۳}-\sqrt{۲})\\ &=۳-\sqrt{۲}-\sqrt{۳} \end{aligned} }

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۴۰ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۴۱ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل دو می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.

برچسب ها
تصویر طهرانی

طهرانی

بنیانگذار مجله اینترنتی ماگرتا و متخصص سئو ، کارشناس تولید محتوا ، هم‌چنین ۱۰ سال تجربه سئو ، تحلیل و آنالیز سایت ها را دارم و رشته من فناوری اطلاعات (IT) است . حدود ۵ سال است که بازاریابی دیجیتال را شروع کردم. هدف من بالا بردن سرانه مطالعه کشور است و اون هدف الان ماگرتا ست.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

هفده − هفده =