پاسخ صفحه ۳۹ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۲ «عددهای حقیقی» درس «اعداد حقیقی» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.
جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۴۰ ریاضیات تکمیلی نهم
فیلم آموزشی صفحه ۳۹ ریاضیات تکمیلی نهم
در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۳۹ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.
جواب صفحه ۳۹ ریاضی تکمیلی نهم
۱۷. پروژه. فرض کنید الگوی زیر با رابطۀ ادامه پیدا کرده باشد.
اگر اعداد این الگو را به‌صورت زیر، پشت‌سرهم بنویسیم، الگویی ساخته می‌شود که نام آن دنبالۀ کالکین–ویلف است.
الف) ثابت کنید در دنبالۀ کالکین–ویلف هر عدد گویای مثبت دقیقاً یک‌بار ظاهر می‌شود.
✅ جواب: ابتدا توجه می‌کنیم که همۀ کسرهای الگو ساده‌شده‌اند؛ زیرا کسر آغازین ساده‌شده است و اگر صورت و مخرج کسری مقسوم‌علیه مشترکی بزرگ‌تر از ۱ نداشته باشند، صورت و مخرج دو کسر حاصل از آن نیز چنین مقسوم‌علیهی ندارند.
اکنون یک عدد گویای مثبت دلخواه را به‌صورت کسر ساده‌شده در نظر می‌گیریم. برای یافتن کسر پیش از آن در درخت، دو حالت داریم:
در هر مرحله، عدد کوچک‌تر را از عدد بزرگ‌تر کم می‌کنیم؛ بنابراین صورت و مخرج مثبت می‌مانند و مجموع آن‌ها کاهش می‌یابد. پس این کار سرانجام به کسری با صورت و مخرج برابر می‌رسد. چون کسر همچنان ساده‌شده است، آن کسر فقط می‌تواند برابر با کسر زیر باشد:
با برعکس کردن این مراحل، از ابتدای درخت به کسر دلخواه می‌رسیم؛ پس هر عدد گویای مثبت در الگو ظاهر می‌شود. همچنین در هر مرحله کسر قبلی فقط به یک روش تعیین می‌شود؛ بنابراین مسیر رسیدن به هر کسر یکتا است و هیچ عدد گویای مثبتی بیش از یک‌بار ظاهر نمی‌شود.
ب) آیا می‌توانید روش دیگری برای تولید همۀ اعداد گویای مثبت بیابید که در آن هر عدد گویای مثبت دقیقاً یک‌بار ظاهر شود؟ (اگر دنبالۀ شما واقعاً با دنبالۀ کالکین–ویلف متفاوت باشد، در تمام دنیا نام شما را به‌خاطر عملکرد این دنباله خواهند شناخت.)
✅ جواب: بله؛ کسرهای مثبت را به‌ترتیب مجموع صورت و مخرج می‌نویسیم: ابتدا مجموع ۲، سپس ۳، سپس ۴ و به همین ترتیب. برای هر مجموع، صورت‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم و فقط کسرهای ساده‌شده را نگه می‌داریم:
هر عدد گویای مثبت یک نمایش ساده‌شدۀ یکتا دارد و مجموع صورت و مخرج آن عددی طبیعی است؛ بنابراین در این روش، هر عدد گویای مثبت دقیقاً یک‌بار ظاهر می‌شود. این روش شناخته‌شده است و با ترتیب دنبالۀ کالکین–ویلف تفاوت دارد.
۱. نمایش اعشاری اعداد سمت راست چه تفاوتی با نمایش اعشاری اعداد سمت چپ دارند؟
✅ جواب: نمایش اعشاری اعداد سمت چپ، نامختوم و متناوب است؛ یعنی از جایی به بعد، یک رقم یا یک گروه مشخص از رقم‌ها مرتب تکرار می‌شود. پس این عددها گویا هستند.
نمایش اعشاری اعداد سمت راست، نامختوم و نامتناوب است؛ یعنی پایان نمی‌یابد و دورۀ گردش ندارد. پس این عددها گنگ هستند.
⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.
جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۳۸ ریاضیات تکمیلی نهم
🔔 در این بخش جواب صفحه ۳۹ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل دو می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.
