در تقسیم یک عدد بر ۸ کدام عدد نمی تواند باقیمانده باشد چرا» از سؤال‌های مفهومی مبحث تقسیم است. برای پاسخ، کافی است یک قانون مهم را بدانیم: در تقسیم معمولِ عددهای طبیعی، باقیمانده همیشه عددی نامنفی و کوچک‌تر از مقسوم‌علیه است. بنابراین، هنگام تقسیم بر ۸، فقط عددهای ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ و ۷ می‌توانند باقیمانده باشند؛ عدد ۸ و هر عدد بزرگ‌تر از آن مجاز نیستند.
دلیل این قانون ساده است: اگر پس از دسته‌بندی هشت‌تایی، هنوز ۸ واحد یا بیشتر باقی مانده باشد، می‌توان دست‌کم یک دسته هشت‌تایی دیگر ساخت؛ پس تقسیم هنوز کامل نشده است. در این مقاله از بخش آموزش و پرورش ماگرتا، با مثال‌های عددی و بررسی رابطه اجزای تقسیم، یاد می‌گیریم چگونه باقیماندههای مجاز و غیرمجاز را تشخیص دهیم و گزینه درست را پیدا کنیم.
در تقسیم یک عدد بر ۸ کدام عدد نمی تواند باقیمانده باشد چرا
در تقسیم یک عدد بر ۸، باقیمانده فقط می‌تواند یکی از عددهای ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ یا ۷ باشد.
بنابراین ۸ و عددهای بزرگ‌تر از آن نمی‌توانند باقیمانده باشند؛ زیرا باقیمانده باید همیشه از مقسوم‌علیه، یعنی ۸، کوچک‌تر باشد.
گاهی هنگام تقسیم، مقداری باقی می‌ماند که برای تشکیل یک دستهٔ کامل کافی نیست. به این مقدار، باقیمانده می‌گوییم. در این مقاله یاد می‌گیریم که در تقسیم یک عدد بر ۸، چه عددهایی می‌توانند باقیمانده باشند و چرا بعضی عددها نمی‌توانند باقیمانده باشند.
آشنایی با اجزای تقسیم
هر تقسیم چهار بخش دارد:
- مقسوم: عددی که می‌خواهیم تقسیم کنیم.
- مقسوم‌علیه: عددی که مقسوم را بر آن تقسیم می‌کنیم.
- خارج‌قسمت: تعداد دسته‌های کامل.
- باقیمانده: مقداری که پس از تشکیل دسته‌های کامل باقی می‌ماند.
برای مثال، اگر ۲۷ مداد را در دسته‌های ۸تایی قرار دهیم، ۳ دستهٔ کامل تشکیل می‌شود و ۳ مداد باقی می‌ماند:
۲۷ = (۸ × ۳) + ۳
در این مثال، مقسوم ۲۷، مقسوم‌علیه ۸، خارج‌قسمت ۳ و باقیمانده ۳ است.
قانون مهم باقیمانده
در تقسیم اعداد صحیح نامنفی بر یک عدد مثبت، باقیمانده باید صفر یا بزرگ‌تر از صفر و همیشه کوچک‌تر از مقسوم‌علیه باشد.
پس در تقسیم بر ۸، باقیمانده فقط می‌تواند یکی از این عددها باشد:
۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷
بنابراین، بزرگ‌ترین باقی‌ماندهٔ ممکن در تقسیم بر ۸، عدد ۷ است.
چرا ۸ نمی‌تواند باقیمانده باشد؟
فرض کنید تعدادی مهره را در دسته‌های ۸تایی قرار داده‌ایم و هنوز ۸ مهره باقی مانده است. با این ۸ مهره می‌توانیم یک دستهٔ کامل دیگر بسازیم؛ پس تقسیم هنوز تمام نشده است.
برای مثال، این تساوی از نظر حسابی درست است:
۳۲ = (۸ × ۳) + ۸
اما نمی‌توانیم بگوییم در تقسیم ۳۲ بر ۸، خارج‌قسمت ۳ و باقیمانده ۸ است؛ چون از ۸ واحد باقیمانده، یک دستهٔ دیگر ساخته می‌شود. پاسخ درست چنین است:
۳۲ = (۸ × ۴) + ۰
پس خارج‌قسمت ۴ و باقیمانده صفر است.
چرا عددهای بزرگ‌تر از ۸ هم نمی‌توانند باقیمانده باشند؟
اگر مقدار باقیمانده بیشتر از ۸ باشد، باز هم می‌توان دست‌کم یک دستهٔ ۸تایی دیگر تشکیل داد.
برای نمونه:
۳۴ = (۸ × ۳) + ۱۰
عدد ۱۰ باقی‌ماندهٔ نهایی نیست؛ زیرا می‌توان آن را به یک دستهٔ ۸تایی و ۲ واحد تقسیم کرد. در نتیجه:
۳۴ = (۸ × ۴) + ۲
بنابراین، در تقسیم ۳۴ بر ۸، خارج‌قسمت ۴ و باقیمانده ۲ است، نه ۱۰.
نمونه‌هایی از باقیماندههای مجاز
جدول زیر نشان می‌دهد که همهٔ عددهای صفر تا ۷ می‌توانند در تقسیم بر ۸ باقیمانده باشند:
| مقسوم | مقسوم‌علیه | خارج‌قسمت | باقیمانده |
|---|---|---|---|
| ۱۶ | ۸ | ۲ | ۰ |
| ۱۷ | ۸ | ۲ | ۱ |
| ۱۸ | ۸ | ۲ | ۲ |
| ۱۹ | ۸ | ۲ | ۳ |
| ۲۰ | ۸ | ۲ | ۴ |
| ۲۱ | ۸ | ۲ | ۵ |
| ۲۲ | ۸ | ۲ | ۶ |
| ۲۳ | ۸ | ۲ | ۷ |
وقتی به عدد ۲۴ می‌رسیم، یک دستهٔ ۸تایی دیگر کامل می‌شود؛ بنابراین خارج‌قسمت ۳ و باقیمانده دوباره صفر خواهد شد.
ارتباط باقیمانده با بخش‌پذیری
اگر باقی‌ماندهٔ تقسیم یک عدد بر ۸ صفر باشد، آن عدد بر ۸ بخش‌پذیر است.
برای مثال:
۷۰۴ = ۸ × ۸۸
پس ۷۰۴ بر ۸ بخش‌پذیر است. اما:
۷۰۵ = (۸ × ۸۸) + ۱
بنابراین ۷۰۵ بر ۸ بخش‌پذیر نیست؛ چون باقی‌ماندهٔ آن ۱ است.
تمرین
۱. کدام‌یک از عددهای ۲، ۷، ۸ و ۹ نمی‌توانند باقی‌ماندهٔ تقسیم بر ۸ باشند؟
۲. بزرگ‌ترین باقی‌ماندهٔ ممکن در تقسیم بر ۸ چند است؟
۳. اگر ۴۳ شکلات را در بسته‌های ۸تایی قرار دهیم، چند بستهٔ کامل و چند شکلات باقیمانده خواهیم داشت؟
پاسخ تمرین‌ها
۱. ۸ و ۹؛ زیرا باقیمانده باید کوچک‌تر از ۸ باشد.
۲. ۷.
۳. ۵ بستهٔ کامل و ۳ شکلات باقیمانده؛ زیرا:
۴۳ = (۸ × ۵) + ۳
نتیجه‌گیری
در تقسیم بر ۸، باقیمانده تنها می‌تواند یکی از عددهای ۰ تا ۷ باشد. عدد ۸ و عددهای بزرگ‌تر از آن نمی‌توانند باقی‌ماندهٔ نهایی باشند؛ زیرا می‌توان از آن‌ها دسته‌های ۸تایی دیگری ساخت.
پس همیشه به یاد داشته باشیم:
باقیمانده از مقسوم‌علیه کوچک‌تر است.
