جواب صفحه ۱۷ ریاضیات تکمیلی نهم ☄️ حل سوالات با تدریس ویدیویی

پاسخ صفحه ۱۷ ریاضیات تکمیلی ویژه مدارس استعدادهای درخشان پایه نهم از فصل ۱ «مجموعه‌ها» درس «اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها» را با با راه حل‌های صحیح و تصویری در ادامه در بخش آموزش و پرورش ماگرتا برای کمک به شما دانش آموز کوشا آماده کرده‌ایم.

جواب صفحه بعدی: جواب صفحه ۱۸ ریاضیات تکمیلی نهم

فیلم آموزشی صفحه ۱۷ ریاضیات تکمیلی نهم

در ویدیو زیر می توانید توضیح و راه حل سوالات صفحه ۱۷ ریاضیات تکمیلی نهم را مشاهده کنید و مشکلات خود را برطرف کنید. همچنین در ادامه نیز به سوالات این بخش به صورت تصویری پاسخ داده شده است.

جواب صفحه ۱۷ ریاضی تکمیلی نهم

۲۰. $\boxed{A}$، $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ سه مجموعهٔ متناهی هستند. درستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
الف) بی‌شمار مثال برای $\boxed{A}$، $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ وجود دارد که $\boxed{A-(B\cup C)=(A-B)\cup(A-C)}$.
✅ جواب: درست است. برای هر عدد طبیعی، مجموعه‌ها را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم: $\boxed{A=\{n\},\quad B=C=\{n+۱\},\quad n\in\mathbb{N}}$
در این صورت، دو طرف تساوی برابرند: $\boxed{A-(B\cup C)=\{n\}=(A-B)\cup(A-C)}$.
چون عددهای طبیعی بی‌شمارند، بی‌شمار مثال داریم.

ب) بی‌شمار مثال برای $\boxed{A}$، $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ وجود دارد که $\boxed{A-(B\cup C)\neq(A-B)\cup(A-C)}$.
✅ جواب: درست است. برای هر عدد طبیعی، این بار انتخاب می‌کنیم: $\boxed{A=B=\{n\},\quad C=\{n+۱\},\quad n\in\mathbb{N}}$
در این صورت: $\boxed{A-(B\cup C)=\varnothing}\qquad\boxed{(A-B)\cup(A-C)=\varnothing\cup\{n\}=\{n\}}$
پس دو طرف برابر نیستند و این انتخاب نیز بی‌شمار مثال می‌سازد.

۲۱. اگر $\boxed{A=\{\sqrt{x}\mid\sqrt{x}\in\mathbb{Z},x<۱۰۰۰\}}$، $\boxed{B=\{x+۱۷\mid x\in\mathbb{N},x\leq۲۰\}}$ و $\boxed{C=\{۲۰،۲۱،۲۲،\ldots،۳۰\}}$ و شکل زیر نمودار ون سه مجموعهٔ $\boxed{A}$، $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ باشد، آنگاه ناحیهٔ سایه‌خوردهٔ شکل زیر حداکثر چند عضو دارد؟
✅ جواب: ابتدا مجموعه‌ها را مشخص می‌کنیم:

$\boxed{A=\{۰،۱،۲،\ldots،۳۱\}},\quad\boxed{B=\{۱۸،۱۹،۲۰،\ldots،۳۷\},\quad C=\{۲۰،۲۱،۲۲،\ldots،۳۰\}}$

دایرهٔ چپ مشخص شده است، اما برای نام‌گذاری دو دایرهٔ دیگر، دو حالت داریم:
حالت اول: دایرهٔ راست $\boxed{B}$ و دایرهٔ پایین $\boxed{C}$ باشد. اعضای ناحیهٔ سایه‌خورده عبارت‌اند از:

$\boxed{((A\cap B)-C)\cup(C-(A\cup B))=\{۱۸،۱۹،۳۱\}}$

پس این ناحیه سه عضو دارد.
حالت دوم: دایرهٔ راست $\boxed{C}$ و دایرهٔ پایین $\boxed{B}$ باشد. در این حالت:

$\boxed{((A\cap C)-B)\cup(B-(A\cup C))=\{۳۲،۳۳،۳۴،۳۵،۳۶،۳۷\}}$

بنابراین حداکثر تعداد اعضای ناحیهٔ سایه‌خورده برابر ۶ است.

۲۲. برای سه مجموعهٔ دلخواه $\boxed{A}$، $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$، درستی تساوی‌های زیر را بررسی کنید. درستی تساوی‌ها را با استفاده از نمودار ون نشان دهید و برای عبارت‌های نادرست یک مثال بیاورید که درستی آن‌ها را نقض کند.
الف) $\boxed{(B\cap C)-A=(B-A)\cap(C-A)}$
✅ جواب: درست است.
در نمودار ون، طرف چپ قسمت مشترک دو مجموعهٔ $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ است که بیرون از $\boxed{A}$ قرار دارد.
در طرف راست نیز اشتراکِ بخش‌های بیرون از $\boxed{A}$ در دو مجموعهٔ $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ را هاشور می‌زنیم؛ بنابراین دقیقاً همان ناحیه به دست می‌آید. $\boxed{(B\cap C)-A=(B-A)\cap(C-A)}$

ب) $\boxed{A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)}$
✅ جواب: درست است.
در نمودار ون، طرف چپ بخشی از $\boxed{A}$ است که نه در $\boxed{B}$ و نه در $\boxed{C}$ قرار دارد.
در طرف راست نیز بخشِ بیرون از $\boxed{B}$ در مجموعهٔ $\boxed{A}$ را با بخشِ بیرون از $\boxed{C}$ در همان مجموعه اشتراک می‌گیریم؛ پس فقط ناحیهٔ اختصاصی $\boxed{A}$ باقی می‌ماند. $\boxed{A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)}$. هر دو تساوی درست‌اند و مثال نقض ندارند.

۲۳. اگر $\boxed{A\cap B=\varnothing}$ و $\boxed{A\cap C=\varnothing}$، آنگاه کدام نتیجه‌گیری درست است؟
الف) $\boxed{B\cap C\neq\varnothing}$
ب) $\boxed{B\cap C=\varnothing}$
ج) $\boxed{A\cap(B\cup C)=\varnothing}$
د) $\boxed{A\cap(B-C)\neq\varnothing}$
✅ جواب: گزینهٔ «ج» درست است. با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری داریم:
$\boxed{A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)=\varnothing\cup\varnothing=\varnothing}$
یعنی چون $\boxed{A}$ با هیچ‌یک از دو مجموعهٔ $\boxed{B}$ و $\boxed{C}$ عضو مشترک ندارد، با اجتماع آن‌ها نیز عضو مشترک ندارد.

۲۴. فرض کنید $\boxed{۱۳۹۴\in B}$. اگر ۱۳۹۴ را به مجموعهٔ $\boxed{A}$ اضافه کنیم، $\boxed{A}$ تغییر نمی‌کند. کدام‌یک از رابطه‌های زیر همواره درست است؟
الف) $\boxed{B\subseteq A}$
ب) $\boxed{A-B=\varnothing}$
ج) $\boxed{A\cap B\neq\varnothing}$
د) $\boxed{A-B\neq\varnothing}$
✅ جواب: گزینهٔ «ج» درست است.
چون اضافه‌کردن عدد ۱۳۹۴ مجموعهٔ $\boxed{A}$ را تغییر نمی‌دهد، این عدد از قبل عضو آن بوده است. طبق فرض، عضو $\boxed{B}$ نیز هست؛ پس دو مجموعه دست‌کم یک عضو مشترک دارند. $\boxed{۱۳۹۴\in A,\quad۱۳۹۴\in B\quad\Longrightarrow\quad۱۳۹۴\in A\cap B\quad\Longrightarrow\quad A\cap B\neq\varnothing}$

⚠️ دانش آموز عزیز به این نکته نیز توجه داشته باشید که مطالب درسی قرار گرفته شده در این صفحه فقط جنبه کمک آموزشی دارد لذا قبل از استفاده کردن از آن ها حتما خودتان نیز به سوالات پاسخ دهید تا مفهوم درس را به خوبی متوجه شوید.

جواب صفحه قبلی: جواب صفحه ۱۶ ریاضیات تکمیلی نهم

🔔 در این بخش جواب صفحه ۱۷ ریاضیات تکمیلی نهم که مربوط به فصل یک می باشد را مرور کردیم، اگر سوالی دارید از بخش نظرات بپرسید. جهت مشاهده پاسخ سایر تمرین های کتاب شماره صفحه آن را به همراه عبارت «ماگرتا» در گوگل جست و جو کنید.